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式中：M1c 为从坐标系 Sc 至坐标系 S1 的变换矩阵；M21为从坐标系 S1 至坐标系 S2 的变换矩阵；Mw2为从坐标系 S2 至坐标系 Sw 的变换矩阵。
切屑几何数值计算
切屑几何成形：车齿切削过程中，检测夹具价格，切屑是由刀具与工件之间的相对运动而形成的，且由于车齿工艺及刀具几何关系复杂，切屑几何呈不规则形态，车齿工艺切屑几何成形过程如图 2 所示，图 2 中 L 为左侧刃，R为右侧刃，张家口检测夹具，T为顶刃。
由图 2 可知，车齿刀具切削刃是其基本铲形轮齿面与前刀面的交线，在车齿刀具坐标系 Sc 中铲形轮齿面坐标矢量表示为 rcΣ( u，θ) ，u 和 θ 为其坐标参数，前刀面表示为 rcr( r，ζ) ，r 和 ζ 为其坐标参数。则切削刃曲线需满足 rcΣ(u，θ) = r c r( r，检测夹具定制，ζ) ，由此可确定 u 与 θ 之间的函数关系 θ = θ(u) ，因此切削刃曲线 E 可表示为具有单一参数变量 u 的空间曲线 rcE( u) ，见图 2 中①右侧曲线图。
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目前，尚未查到对钢制齿轮硫氮共渗后摩擦磨损性能评估的研究。因此，本文作者采用不同表面处理技术制备各种钢制齿轮，包括未处理、氮化处理、渗碳淬火、高频淬火、硫氮共渗和氮化 硫氮共渗，并对无润滑条件下各种齿轮的磨损性能进行评价。结果表明：硫化氮化处理对减少齿轮的磨损是有效的。
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，当前点线啮合齿轮强度校核方面的理论研究框架已基本建立，在接触强度、弯曲强度、胶合强度方面进行了一定程度的研究，虽然其研究成果基本能够对点线啮合齿轮的可靠性进行评估，但缺乏足够的试验数据支持，因此需在承载能力可靠性试验验证方面加大研究力度，通过试验验证数据，进一步完善点线啮合齿轮强度校核理论。
齿形优化：点线啮合齿轮齿形优化研究主要通过齿轮修形来实现，这与渐开线齿轮相似，通过齿形优化能够有效提高齿轮啮合性能及承载能力。在点线啮合齿轮修形优化研究方面，杨帆对点线啮合齿轮齿廓修形方法开展了研究，其以齿廓修形的三要素(修形量、修形曲线、修形高度) 为基础，对齿廓修形参数进行了定义，建立了齿廓修形的几何模型和函数表达式，并通过实例对比分析了齿廓修形前后齿轮动态啮合力的变化情况，得出了齿廓修形对于点线啮合齿轮的啮合冲击具有明显改善作用的结论，对降低点线啮合齿轮啮合激励具有重要作用。
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